如何追究租客提前退房且擅自处理财产的责任？

根据您提供的情况，房客未经您同意出售物业上的铁棚和提前退房不付租金的行为可能构成违约。依据《中华人民共和国合同法》，您可以要求房客赔偿违约金及未支付的租金。首先，您应通过合法途径联系房客，尽可能协商解决此事。如果协商不成，您有权向人民法院提起诉讼，要求赔偿因违约造成的所有损失。

此外，关于房客擅自出售属于您和邻居共有的空地上的铁棚，您亦可要求撤销卖方与邻居之间的交易并追回所失物品或得到相应的经济补偿。在法律程序中，收集相关的租赁合同、支付记录和任何协议书作为证据将非常重要。

请在采取法律行动前，确保所有证据的完整性和可信性，避免在诉讼过程中出现证据不足的情况。如有需进一步法律支持或疑问，我将随时为您提供专业建议。

建议尽快处理，以保护您的合法权益不受进一步侵害。