劝退和工资纠纷如何处理？

根据您提供的情况，未签署劳动合同的情况下，您依然享有支付工资、加班费以及法定假日工资的权利。首先，根据我国《劳动法》第十七条规定，即使未签订书面劳动合同，劳动者提供了超过一个月的劳动，则视为已建立劳动关系，用人单位应支付相应的工资。

您提出的关于9.13-10.13的工资，包含公休日以及国庆假日的工资计算，这部分工资应按照正常工作日的工资支付。关于加班费，依据《劳动法》第四十四条，工作日加班应按不低于工资的150%支付，休息日加班则不得低于200%。

至于您被劝退并从工作群聊中移除的情况，若无合理的解雇理由或未进行法定的经济补偿，该行为可能构成非法解雇。您可以要求支付违法解雇赔偿金，通常为一个月工资的赔偿。

建议您收集与雇佣关系相关的证据，包括任何相关的通讯记录、工资发放记录等，并尽快与当地劳动局或劳动争议仲裁委员会联系，以便启动仲裁或法律程序维护您的权益。

总之，您完全有权要求立即结清相关工资，并可以依法追究非法解雇的补偿。务必保留所有相关证据，并考虑进一步取得法律支持。