被医院强制关押后如何讨回公道并索赔？

根据您提供的情况，名誉受损且被强制就医涉及人身权和人格权双重侵害，需立即固定证据主张侵权赔偿。
针对您咨询的纠纷问题，两个医院的行为若无法定依据，可能构成非法拘禁与诽谤，您有权要求书面道歉及精神损害赔偿。