如何处理员工未签劳务合同受伤的赔偿事宜？

根据您提供的情况，尽管未签署劳务合同，但员工在工作中受伤您仍需承担相应的法律责任。根据《中华人民共和国工伤保险条例》的规定，即使无正式劳务合同，员工在工作期间发生事故造成伤害，用人单位也有义务为其支付相应的工伤赔偿。您的情况中，员工提出索赔医疗费用是合法的基本请求。

首先，您需要确认员工受伤的具体情况是否属于工伤。工伤的认定通常需要经过劳动能力鉴定委员会的审查，以确定伤害的性质和程度。若确认为工伤，您必须依法承担工伤保险应当支付的医疗费和可能的赔偿。

其次，即使在无合同的情况下，也不能免责。建议立即与受伤员工协商解决，如果可能，可以通过工伤保险为员工提供必要的经济和医疗支持。同时，建议尽快改善您的劳务管理，确保所有员工均有正规的劳务合同，以避免类似事件再次发生。

最终，关于除医疗费用外的其他赔偿，如误工费、护理费等，这通常也是工伤赔偿的一部分。若员工提出的要求在法律范围内，您可能也需要承担这部分费用。建议您评估全面的赔偿责任，并寻找可能的法律和经济解决方式以最小化损失。

综上所述，虽然没有合同，您仍需依法处理工伤赔偿事宜。建议尽早处理以避免额外法律风险。