如何处理公司未签订劳动合同后提出离职的问题？

根据您提供的情况，未签订劳动合同且被要求离职，根据《劳动合同法》规定，雇主未与您签订书面劳动合同并在一定时间内未改正，可要求支付双倍工资。请仔细查看您的银行流水和工资支付情况，以证明您在职期间的工作与薪酬状态。我建议您立即收集相关证明材料，如银行流水证明、通讯记录等，以便维护您的权益。

直接与公司进行沟通可能存在回避或拖延风险。您可以先正式向公司发送一个书面通知，要求解决未签订劳动合同的问题，并明确提出您的经济补偿要求。如果公司未在合理的期限内予以答复或拒绝支付双倍工资，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交您的诉求和所有相关证据材料。 劳动仲裁过程中，仲裁委员会会根据双方提供的证据和法律规定做出判决。

在这个过程中，注意保持所有证据的完整和通讯记录的保存，这对支持您的诉求至关重要。同时，请保持与公司的沟通记录，这也可能作为处理劳动争议的参考资料。