餐厅闭店后如何要求适当的经济赔偿？

根据您提供的情况，处理未续签合同引发的劳动纠纷时，有几点重要考虑。首先，由于您的劳动合同在2023年9月到期后没有被正式续签，但您继续工作至2025年2月18日，依据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条提到，若双方继续履行合同且雇主未明确提出续签或者变更合同，原劳动合同则视为依法变更，合同期限为无固定期限。在这种情况下，您有权要求经济补偿。

具体到您的案例，既然您的劳动合同未被续签，并且公司在没有适当的解除合同通知下闭店，您可以向劳动仲裁委员会申请双倍工资赔偿。这包括您从合同结束后到公司闭店之间的时间内应得的工资补偿。同时，您也有权要求对失业期间的经济损失进行补偿，根据《劳动合同法》第四十七条，由于用人单位原因解除合同，应当支付经济补偿。

建议您准备相关的合同文书、工资银行流水证明、以及任何证明劳动关系持续存在的相关证据，向劳动仲裁申请。您也应该尽快行动，因为劳动纠纷申诉有时间限制，通常需要在合同终止后一年内提出。

综上所述，您应积极利用法律规定保护您的权益，并及时与雇主沟通或通过法律途径寻求合法赔偿。这不仅涉及到您的经济利益，更关系到法律对劳动者权益的保护。