如何追回因购买未经许可宠物店病亡狗只的损失？

根据您提供的情况，涉及未经许可的宠物销售及没有合同支持的转账方式，您的案情复杂但追回损失仍有可能性。在处理此类退费纠纷中，您首先需要确认对方销售行为是否获得了相应的许可。由于对方是在个人房屋中进行交易且未出示售卖许可证，此行为可能构成非法经营。

您应立即收集所有交易记录，包括转账记录、与卖方的通信记录（如聊天记录、短信、邮件等），并尽可能搜集证人证言或其他有力证据。考虑到没有书面合同，这些证据将对您的案件至关重要。

此外，关于宠物病死，您可以请求进行尸检（如果可能的话），以确定病因是否与卖方提供的宠物健康状况不符，这对追责及索赔可能至关重要。您还可向当地市场监督管理局举报此非法经营行为，请求对方商家承担相应的法律责任。同时，建议您就此情况向消费者协会咨询，或直接提起民事诉讼，要求回收宠物购买费和治疗费用。

综上所述，您应迅速采取行动，搜集证据，向相关机构举报，并视情考虑提起诉讼。在此过程中，保持证据的完整和链条的连贯是关键。如果有进一步的问题或需要具体的操作指导，可以随时联系我。