公司不签合同还开除员工怎么办？

根据您提供的情况，公司未签劳动合同且违法解除劳动关系，您有权主张双倍工资差额及违法解除赔偿金。

依据《劳动合同法》第82条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您的情况符合这一规定，可主张最多11个月的双倍工资差额。

此外，公司无正当理由解除劳动关系属于违法解除，依据《劳动合同法》第87条，您可要求公司支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍。经济补偿按您的工作年限计算，每满一年支付一个月工资。

维权途径：
1. 收集证据：如工牌、考勤记录、工资转账记录、同事证言等，证明存在劳动关系。
2. 协商解决：先与公司沟通，要求合理赔偿。
3. 劳动仲裁：若协商无果，向东莞市劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，主张双倍工资差额及赔偿金。

建议尽快行动，仲裁时效为一年，自劳动关系终止之日起算。