怎样通过法律途径要求北京健身房赔偿工资和劳动合同？

根据您提供的情况，由于您已签署劳动合同且雇主未按约履行合同提供和支付，您完全有权通过法律途径要求追偿。首先，劳动合同法明确规定，雇主必须按时支付劳动者劳务报酬，并且应当提供劳动合同副本给劳动者。您可以首先向当地劳动监察大队投诉，要求雇主支付未结算的工资及违约赔偿。

进一步，根据相关法律规定，如果雇主拖延或拒绝支付工资，劳动者可以请求支付工资及其延迟支付的赔偿金。此外，如果雇主没有按照劳动合同法的要求提供劳动合同副本，可以被视为违法行为，您还可以要求赔偿因此引发的损失。

考虑到您的特定情况，有必要收集和整理所有相关证据，包括银行工资流水、任何书面通讯记录等，以便支持您的诉求。在处理该问题时，也应适时考虑发起劳动仲裁，以此作为解决劳动纠纷的有效途径。

建议您立即行动，保护自己的合法权利不受侵犯。维护自己的权利是每位劳动者的基本职责，不要因害怕影响将来的就业机会而放弃。如果需要进一步的法律支持或具体操作指导，请随时提出。