如何追回未支付的课时费并索赔未签订合同期间的工资？

根据您提供的情况，在无劳动合同情况下，仍可依据工资流水及课时证据主张权利。您有权向劳动仲裁委员会提出申请，追索未支付的4500元课时费。为此，首先应向郑州市高新技术产业开发区劳动仲裁委员会提交涉及课时的所有相关证据包括离职通知书、工资发放的银行流水、照片和课时签字等。此外，虽未签劳动合同，但根据《劳动合同法》，您与雇主的实际劳动关系仍受到法律保护，可要求支付双倍的工资作为未签订劳动合同的赔偿。

建议您详细准备好所有证据材料，并尽快向劳动仲裁委员会提出申诉，同时可考虑就合同未签定的问题进行进一步的法律追索。注意，向劳动部门提起投诉并启动仲裁程序的时限为一年，因此建议尽早行动。