如何处理员工在工作中受伤的责任问题？

根据您提供的情况，如果工伤发生在贵公司委托的活动板房及设备安装过程中，即便未签订劳动合同，作为用工方，您也可能需要承担一定的责任。工伤事故中，用工单位通常具有赔偿责任，尤其是在未签订劳动合同的情况下。

法律规定，任何用工单位应确保工作场所的安全与劳动者的权益，包括工伤保险等。在未签订劳动合同的情况下，责任可能会更大，因为这表明工作安排上存在一定的非正规性。您作为用工方，需要进行事故的责任调查，确认事故原因和责任比例。在此基础上，依据《工伤保险条例》及相关法律，进行相应的工伤认定和赔偿。

具体到您的案例，如果可以证明员工的受伤与工作直接相关，且责任在于工作安排或安全措施不足，您可能需要承担相应的医疗费用、赔偿金等。建议您尽快联系专业的工伤鉴定机构，确定伤情是否构成工伤以及工伤等级，同时与工人进行沟通，寻求合理解决方案。

同时，建议您今后在工作委托过程中，与合作方签订明确的合同，规定责任划分与安全标准，以减少类似纠纷的发生。应对工伤事故的紧急性和可能的财务风险，合理地管理和预防是关键。最好的策略是增强安全管理和工伤预防，确保类似事件不再发生。